Question

已知函数f（x）=1n（-x）+ax-

1

x

（a为常用数），在x=-1时取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（-x）+2x，若方程g（x）-b=0有两个不相等的实数根，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（I）f′(x)=

1

x

+a+

1

x2

，（x＜0）．由于f（x）在x=-1时取得极值，可得f′（1）=0，解出a再经验证即可．
（II）g（x）=f（-x）+2x=lnx+2x+

1

x

，利用导数的运算法则研究函数g（x）的单调性极值与最值．方程g（x）-b=0有两个不相等的实数根?函数y=g（x）与y=b的图象由两个不同的交点?b＞g（x）_min．

解答： 解：（I）f′(x)=

1

x

+a+

1

x2

，（x＜0）．
∵f（x）在x=-1时取得极值，∴f′（1）=0，∴a=0．
此时f′（x）=

x+1

x2

，经验证x=-1时取得极小值．
（II）g（x）=f（-x）+2x=lnx+2x+

1

x

，g′（x）=

1

x

+2-

1

x2

=

2x2+x-1

x2

=

(2x-1)(x+1)

x2

．（x＞0）．
令g′（x）＞0，解得x＞

1

2

，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜

1

2

，此时函数g（x）单调递减．
∴g（x）≥g(

1

2

)=3-ln2．
∵方程g（x）-b=0有两个不相等的实数根，
∴b＞3-ln2．
∴b的取值范围是（3-ln2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究方程的实数根，考查了推理能力和转化能力、计算能力，属于难题．