Question

20．已知数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，S_n为其前n项和，且a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*），A=-a₁a₂+a₂a₃-a₃a₄+a₄a₅-…+a_2na_2n+1，则A=8n²+4n．

Answer 1

分析 由已知条件利用等差数列的性质求出a₁=1，d=2，从而得到a_n=2n-1，由此能求出A=-a₁a₂+a₂a₃-a₃a₄+a₄a₅-…+a_2na_2n+1的值．

解答 解：∵数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，S_n为其前n项和，且a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*），
∴${{a}_{n}}^{2}$=S_2n-1，
分别令n=1，n=2，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}={S}_{1}={a}_{1}}\\{{{a}_{2}}^{2}=（{a}_{1}+d）^{2}=3{a}_{1}+3d}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，
∴A=-a₁a₂+a₂a₃-a₃a₄+a₄a₅-…+a_2na_2n+1
a₂（a₃-a₁）+a₄（a₅-a₃）+…+a_2n（a_2n+1-a_2n-1）
=4（a₂+a₄+…+a_2n）
=$4×\frac{n（3+4n-1）}{2}$
=8n²+4n．
故答案为：8n²+4n．

点评 本题考查等差数列的若干项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．