Question

如图，三棱柱中，平面，，,为的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设的中点为，问:在矩形内是否存在点，使得平面．若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

(1) 只需证∥；(2) ；(3)

试题分析：（1）连结，设，连结，在中，为中点，
为 中点，∴∥，又∵面，面，
∴∥面．      4分
（2）过作且设，连结，∵面，面，∴．又，∴面，∴，∴为二面角的平面角，设为．      5分
在中，，由可得，
∴，即二面角的余弦值为．     8分
（3）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．
依题意，得：、、、，假设存在
，，
由平面，得：
 ∴
同理，由得：
即：在矩形内是存在点，使得平面．此时点到的距离为，到的距离为．      13分 
点评：立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为“线线平行”，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用三角形中位线的性质。 （3） 利用平行四边形的性质。 （4） 利用对应线段成比例。 （5） 利用面面平行，等等。