Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n∈N^*）．若bn+1=(n-2λ)•(

1

an

+1)（n∈N^*），b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（　　）

• A、λ＞

  2

  3

• B、λ＞

  3

  2

• C、λ＜

  2

  3

• D、λ＜

  3

  2

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式得到{

1

an

+1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ，由b₂＞b₁求得实数λ的取值范围，验证满足b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ为增函数得答案．

解答： 解：由a_n+1=

an

an+2

得，

1

an+1

=

1

an

+1
则，

1

an+1

+1=2（

1

an

+1）
由a₁=1，得

1

a1

+1=2，
∴数列{

1

an

+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴

1

an

+1=2×2^n-1=2ⁿ，
由b_n+1=（n-2λ）•（

1

an

+1）=（n-2λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，
b₂=（1-2λ）•2=2-4λ，
由b₂＞b₁，得2-4λ＞-λ，得λ＜

2

3

，
此时b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ为增函数，满足题意．
∴实数λ的取值范围是（-∞，

2

3

）．
故选：C

点评：本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．