Question

如图所示，在边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C₁、C₂、C₃的离心率分别为e₁、e₂、e₃，则e₁、e₂、e₃的关系为

e₁＜e₂=e₃

．

Answer 1

分析：根据图形分别得到椭圆C₁、C₂、C₃的长轴长和短轴长，利用椭圆的离心率公式和平方关系分别算出e₁、e₂、e₃的值或范围，再加以比较即可得到本题的答案．

解答：解：先看椭圆C₁，长轴2a₁=4a，短轴2b₁∈（2a，4a）
∴离心率e₁=

c1

a1

∈（0，

3

2

）
椭圆C₂，长轴2a₁=8a，短轴2b₂=4a
∴离心率e₂=

c2

a2

=

a22-b22 a22

=

3

2

同理可得椭圆C₃的离心率e₃=

c3

a3

=

(6a)2-(3a)2 (6a)2

=

3

2

∴e₁、e₂、e₃的关系为e₁＜e₂=e₃
故答案为：e₁＜e₂=e₃

点评：本题给出正方形方格内的一些椭圆，比较它们离心率的大小．着重考查了椭圆基本量的平方关系和椭圆的离心率公式等知识，属于基础题．