Question

【题目】若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

Answer 1

【答案】

【解析】

不等式可化为不等式，等价于存在实数a，b，对任意，不等式成立，等价于存在实数a，b，不等式成立，分别讨论，，的情况，注意由任意性和存在性可知需先求出，再求即可解决.

不等式可化为不等式，
原题等价于存在实数a，b，对任意，不等式成立，

等价于存在实数a，b，不等式成立，

令，则，
（1）在上，当，即时，函数单调递减，
此时，
当时，，且，则，

当时，，且，则，
从而当时，设，

则在单调递减，在单调递增，

所以时，取最小值，最小值为；
（2）当时，由可得，y在上单调递减，在上单调递增，
①在时，，则，

同理可得，当时，，则在单调递减，在单调递增，故当时，取最小值，最小值为；
②在时，，则，

同理可得，当时，，则在单调递减，在单调递增，

故当时，取最小值，最小值为，

根据对勾函数的性质可得，.
综上所述，，即，
.

故答案为：.