Question

【题目】设函数.

（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；

（2）若函数的定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）若，证明对任意的正整数， .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由，得的定义域为，因为对，都有成立，所以是函数的最小值，所以，即可求解的值；（2）由，函数在定义域上单调函数，知或在上恒成立，由此能求出实数的取值范围；（3）当时，函数，令，

则，由此入手能够证明.

试题解析：（1）由,得．∴的定义域为．

因为对x∈,都有，∴是函数的最小值，故有．

解得．

经检验，时，在上单调减，在上单调增．为最小值．故得证．

（2）∵又函数在定义域上是单调函数，

∴或在上恒成立．

若，则在上恒成立,

即=恒成立,由此得；

若,则在上恒成立,

即=恒成立．

因在上没有最小值，∴不存在实数使恒成立．

综上所述，实数的取值范围是．

（3）当时，函数．

令，

则．

当时，，所以函数在上单调递减．

又，当时，恒有，即恒成立．

故当时，有．

而，．取，则有．

．所以结论成立．