Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围；

（3）在第（2）问的条件下，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：

(1)由题意求得,则椭圆方程为.

(2)将直线方程与椭圆方程联立，整理可得 ，则的取值范围为.

(3)面积公式： ，求导讨论可得面积的最大值为.

试题解析：（1）点在且椭圆上， ，

， ，

， ， 椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，

代入，整理得.

直线过椭圆的右焦点， 方程有两个不等实根.

记， 中点，

则， ， ，

垂直平分线的方程为.

令，得 .

， . 的取值范围为.

（3），

而，

由，可得.

所以.

又，所以.

所以的面积为.

设，则.

可知在区间单调递增，在区间单调递减.

所以，当时， 有最大值.

所以，当时， 的面积有最大值.