Question

【题目】定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, 的长度. 用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，当时,不等式解集区间的长度为，则的值为

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

先化简f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3）时，从而得出f（x）＜g（x）在0≤x≤k时的解集的长度，依题意即可求得k的值．

f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1，

f（x）＜g（x）[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1，

当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，

∴x∈；

当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，

∴x∈；

当x∈[2，3）时，[x]=2，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1=3，

∴当x∈[0，3）时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为d=3﹣2=1；

同理可得，当x∈[3，4）时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为d=4﹣2=2；

∵不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为5，

∴k﹣2=5，∴k=7．

故答案为：B．