Question

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且（m∈R）；
（Ⅰ）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（Ⅱ）求证：当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由=及，解得a²=4，b²=3，由此能求出椭圆E的方程及直线AB的斜率．
（Ⅱ）设AB的方程为 y=，代入椭圆方程得：x²-tx+t²-3=0，△=3（4-t²），|AB|=，点P到直线AB的距离为d=，故S_△PAB==（-2＜t＜2）． 由此能求出△PAB的重心坐标．
解答：解：（Ⅰ）由=及，
解得a²=4，b²=3，…（1分）
椭圆方程为； …（2分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），
即…（3分）
又，，
两式相减得；…（5分）
（Ⅱ）证明：设AB的方程为 y=，
代入椭圆方程得：x²-tx+t²-3=0，…（6分）
△=3（4-t²），|AB|=，
点P到直线AB的距离为d=，
S_△PAB==（-2＜t＜2）． …（8分）
令f（t）=3（2-t）³（2+t），
则f’（t）=-12（2-t）²（t+1），
由f’（t）=0得t=-1或2（舍），
当-2＜t＜-1时，f’（t）＞0，
当-1＜t＜2时f’（t）＜0，
所以当t=-1时，f（t）有最大值81，
即△PAB的面积的最大值是；                 …（10分）
根据韦达定理得 x₁+x₂=t=-1，
而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0）．        …（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，直线斜率的计算和求证：当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．