Question

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

1

2

．点P（1，

3

2

）、A、B在椭圆E上，且

PA

+

PB

=m

OP

（m∈R）．
（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（2）当m=-3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用椭圆的离心率为

1

2

，点P（1，

3

2

）在椭圆E上，可求几何量，从而可得椭圆方程，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=m

OP

，结合点差法，即可求得直线AB的斜率；
（2）证明△PAB的重心坐标为（0，0）即可，确定AB中点坐标，点差法求直线AB的斜率，即可求得直线AB的方程．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆的离心率为

1

2

，点P（1，

3

2

）在椭圆E上，
∴e2=1-

b2

a2

=

1

4

及

1

a2

+

9

4b2

=1
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=m

OP

得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，

3

2

），即

x1+x2=2+m y1+y2=3+ 3 2 m

又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
两式相减得kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

×

2+m

3+ 3 2 m

=-

1

2

；
（2）由（1）知，点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足

x1+x2=2+m y1+y2=3+ 3 2 m

，
点P的坐标为（1，

3

2

），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+

3

2

=3+

3m

2

+

3

2

=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．
∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-

3

2

，∴AB中点坐标为（-

1

2

，-

3

4

），
又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，两式相减得kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

；
∴直线AB的方程为y+

3

4

=-

1

2

（x+

1

2

），即x+2y+2=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点差法求直线的斜率，正确运用椭圆方程是关键．