Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过定点F(-

3

，0)作直线l与椭圆E交于M、N两点，求△OMN的面积S的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由于不清楚椭圆焦点在哪条坐标轴上，所以设其方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），然后把点A、C的坐标代入解之即可；
（2）首先把直线按有无斜率进行分类，当l⊥x轴时，易于求得△OMN的面积S；当l的斜率存在时，设出l的点斜式方程，然后与椭圆方程联立方程组，并消去y得关于x的一元二次方程，再由韦达定理用k的代数式表示出x₁+x₂与x₁x₂，则过焦点的弦MN及原点O到直线l的距离d均可由k的代数式表示出来，此时△OMN的面积S可得，进一步运用均值不等式求三角形面积S的最大值，最后比较两种情况下的S进而得出答案．

解答：解：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
将A（-2，0）、C(1，

3

2

)代入，得

4m=1 m+ 3 4 n=1

?

m= 1 4 n=1

．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）当l⊥x轴时，l：x=-

3

，易得|MN|=1，则S=

1

2

×1×

3

=

3

2

．
当l的斜率存在时，设l：y=k(x+

3

)，代入椭圆方程x²+4y²=4，得(1+4k2)x2+8

3

k2x+4(3k2-1)=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

8 3 k2

1+4k2

，x1x2=

4(3k2-1)

1+4k2

．
∵F(-

3

，0)为椭圆E的左焦点，且椭圆中a=2，e=

3

2

，
∴|MN|=|MF|+|NF|=(a+ex1)+(a+ex2)=4+

3

2

(x1+x2)=

4(1+k2)

1+4k2

．
又原点O到直线l的距离d=

3 |k|

1+k2

，
∴S=

1

2

|MN|•d=2

3

|k|•

1+k2

1+4k2

=

2 3k2•(1+k2)

1+4k2

≤

3k2+(1+k2)

1+4k2

=1．
上式等号当且仅当3k²=1+k²，即k=±

2

2

时成立．
综上，△OMN的面积S的最大值为1，此时直线l的方程为y=±

2

2

(x+

3

)即x±

2

y+

3

=0．

点评：本题考查用待定系数法求曲线方程以及直线和圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验，灵活运用均值不等式求三角形面积的最值是一大难点．