Question

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

1

2

．点P（1，

3

2

）、A、B在椭圆E上，且

PA

+

PB

=m

OP

（m∈R）；
（Ⅰ）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（Ⅱ）求证：当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e2=1-

b2

a2

=

1

4

及

1

a2

+

9

4b2

=1，解得a²=4，b²=3，由此能求出椭圆E的方程及直线AB的斜率．
（Ⅱ）设AB的方程为 y=-

1

2

x+t，代入椭圆方程得：x²-tx+t²-3=0，△=3（4-t²），|AB|=

1+ 1 4

×

3(4-t2)

=

15

2

×

4-t2

，点P到直线AB的距离为d=

|4-2t|

5

，故S_△PAB=

3

2

|2-t|

4-t2

=

1

2

3(2-t)3(2+t)

（-2＜t＜2）． 由此能求出△PAB的重心坐标．

解答：解：（Ⅰ）由e2=1-

b2

a2

=

1

4

及

1

a2

+

9

4b2

=1，
解得a²=4，b²=3，…（1分）
椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1； …（2分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

PA

+

PB

=m

OP

得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，

3

2

），
即

x1+x2=2+m y1+y2=3+ 3 2 m

…（3分）
又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
两式相减得kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

×

2+m

3+ 3 2 m

=-

1

2

；…（5分）
（Ⅱ）证明：设AB的方程为 y=-

1

2

x+t，
代入椭圆方程得：x²-tx+t²-3=0，…（6分）
△=3（4-t²），|AB|=

1+ 1 4

×

3(4-t2)

=

15

2

×

4-t2

，
点P到直线AB的距离为d=

|4-2t|

5

，
S_△PAB=

3

2

|2-t|

4-t2

=

1

2

3(2-t)3(2+t)

（-2＜t＜2）． …（8分）
令f（t）=3（2-t）³（2+t），
则f’（t）=-12（2-t）²（t+1），
由f’（t）=0得t=-1或2（舍），
当-2＜t＜-1时，f’（t）＞0，
当-1＜t＜2时f’（t）＜0，
所以当t=-1时，f（t）有最大值81，
即△PAB的面积的最大值是

9

2

；                 …（10分）
根据韦达定理得 x₁+x₂=t=-1，
而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+

3

2

=3+

3m

2

+

3

2

=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0）．        …（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线斜率的计算和求证：当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．