Question

18．已知函数f（x）=e^x．
（1）过点（-1，0）作f（x）=e^x的切线，求此切线的方程．
（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k，b应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x，f′（0）=1，利用点斜式可得切线的方程．
（2）设H（x）=f（x）-kx-b=e^x-kx-b，x∈[0，+∞），H′（x）=e^x-k，x∈[0，+∞）．对k分类讨论，利用函数H（x）的 单调性可得H（x）_min，进而得出k与b的求值范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x，f′（0）=1，
∴切线的方程为y=x+1．
（2）设H（x）=f（x）-kx-b=e^x-kx-b，x∈[0，+∞），
∴H′（x）=e^x-k，x∈[0，+∞）．
①当k≤1时，显然H′（x）≥0，则H（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，
∴H（x）_min=H（0）=1-b≥0，∴b≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{b≤1}\end{array}\right.$时符合题意．
②当k＞1时，H（x）在x∈[0，ln k）上单调递减，x∈[ln k，+∞）上单调递增，
∴H（x）_min=H（ln k）=k-kln k-b≥0，∴b≤k（1-ln k）．
综上所述：满足题意的条件是$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{b≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{b≤k（1-lnk）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、解不等式、导数的几何意义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．