Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，且a_n，a_n+1，

1

2n-1

成等差数列．又正项数列{b_n}满足b₁=e，且

bn+1

是b_n与b_n+1的等比中项．
（1）求证：{2^n-1a_n}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求证?n∈N^*都有

n+1

an+1

-1≤lnb₁+lnb₂+…+lnb_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n，a_n+1，

1

2n-1

成等差数列，可得2a_n+1=a_n+

1

2n-1

，等式两边同时乘以2^n-1，得2ⁿa_n+1=2^n-1a_n+1，可得{2^n-1a_n}是等差数列，利用通项公式即可得出．
（2）即证2ⁿ-1≤lnb₁+lnb₂+…+lnb_n．

bn+1

是b_n与b_n+1的等比中项的等比中项，等价于b _n+1=b_n²+b_n
当n=1时，所证的不等式易证成立
当n≥2时，b _n+1=b_n²+b_n ＞b_n²，∴lnb_n+1＞2lnb_n，经放缩后证明．

解答： 证明：（1）∵a_n，a_n+1，

1

2n-1

成等差数列，
∴2a_n+1=a_n+

1

2n-1

等式两边同时乘以2^n-1，得2ⁿa_n+1=2^n-1a_n+1
∴{2^n-1a_n}是等差数列，公差为1
又a₁=1，∴2⁰a₀=1
∴2^n-1a_n=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=

n

2n-1

；
（2）∵

n+1

an+1

=2n，
∴?n∈N^*都有

n+1

an+1

-1≤lnb₁+lnb₂+…+lnb_n．?2ⁿ-1≤lnb₁+lnb₂+…+lnb_n．
∵

bn+1

是b_n与b_n+1的等比中项的等比中项，等价于b _n+1=b_n²+b_n ．
∵4e＞8，∴b₁＞

-1+ 9

2

=1，b₁+1=

e

b1

＜e．
∴lnb₁＞ln1=0=2^1-1-1，lnb₁＜ln（b₁+1）＜1=2¹-1，故当n=1时，所证的不等式成立．
当n≥2时，b _n+1=b_n²+b_n ＞b_n²，∴lnb_n+1＞2lnb_n．
∴lnb_n＞2lnb_n-1＞…＞2^n-2lnb₂=2^n-2．
∴lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1

点评：本题是数列与不等式的综合题．考查数列性质的判定，通项公式求解，放缩法证明不等式，数列求和．此类题联通了高中数学主干知识和方法，是高考中常见的命题立意形式．