某农场有一块以O为圆心.R为半径的半圆形种植地.农场主计划对其合理利用.其中扇形AOB区域用于种植作物甲出售.△BOC区域用于种植作物乙出售.其余区域用于种植作物丙不出售.已知种植作物甲的利润是40元/平方米,种植作物乙的利润是80元/平方米,种植作物丙的成本是20元/平方米．(1)设∠AOB=θ.用θ表示弓形BCD的面积f(θ),(2)求总利润最大时cosθ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

某农场有一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）种植地，农场主计划对其合理利用，其中扇形AOB区域用于种植作物甲出售，△BOC区域用于种植作物乙出售，其余区域用于种植作物丙不出售，已知种植作物甲的利润是40元/平方米；种植作物乙的利润是80元/平方米；种植作物丙的成本是20元/平方米．
（1）设∠AOB=θ（单位：弧度，0＜θ＜π），用θ表示弓形BCD的面积f（θ）；
（2）求总利润最大时cosθ的大小，并计算此时作物乙的种植面积．

分析（1）设∠COD=θ（单位：弧度），利用扇形面积减去三角形的面积，即可求出弓形CMDC的面积S_弓=f（θ）；
（2）设总利润为W（θ）元，甲的利润是40元/平方米；种植作物乙的利润是80元/平方米；种植作物丙的成本是20元/平方米．利用导数确定函数的最大值，得到结果．

解答解：（1）由扇形的面积公式$s=\frac{1}{2}•θ{•r}^{2}$可得：${S}_{A0B}=\frac{1}{2}•θ•{R}^{2}$；
由三角形$s=\frac{1}{2}absinx$．可得：${S}_{OBC}=\frac{1}{2}{R}^{2}sin（π-θ）$
∴${S}_{BCD}=\frac{π}{2}{R}^{2}-\frac{1}{2}θ{R}^{2}-\frac{1}{2}{R}^{2}sin（π-θ）$，
即：$f（θ）=\frac{1}{2}{R}^{2}（π-θ-sinθ）$
（2）设总利润为W（θ），则W（θ）=40•S_AOB+80•S_OBC-20•S_BCD
∴W（θ）=30R²θ+50R²Sinθ-10R²π
W（θ）'=30R²+50R²cosθ
令W（θ）'=0，解得$cosθ=-\frac{3}{5}$．即$cosθ＞-\frac{3}{5}$时，W（θ）'＜0，
当$cosθ＜-\frac{3}{5}$时，W（θ）'＞0．
∴W（θ）在$cosθ=-\frac{3}{5}$．有最大值．
∴总利润为w最大，此时得$cosθ=-\frac{3}{5}$．
作物乙的种植面积${S}_{OBC}=\frac{1}{2}{R}^{2}sin（π-θ）$=$\frac{1}{2}$R²•sinθ
∵0＜θ＜π，$cosθ=-\frac{3}{5}$．
∴sinθ=$\frac{4}{5}$．
故得乙的种植面积为$\frac{1}{2}$R²•sinθ=$\frac{2}{5}{R}^{2}$．