Question

12．已知$\vec a=（sinπx，1），\vec b=（\sqrt{3}，cosπx）$，$f（x）=\vec a•\vec b$
（I）若x∈[0，2]，求$f（x）=\vec a•\vec b$的单调递增区间；
（Ⅱ）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求∠POQ的余弦值．

Answer 1

分析 （I）利用数量积运算性质、和差公式可得$f（x）=\vec a•\vec b=\vec a=\sqrt{3}sinπx+cosπx=2sin（πx+\frac{π}{6}）$，再利用单调性即可得出．
（I I）由题意得P$（\frac{1}{3}，2）$，Q$（\frac{4}{3}，-2）$．根据距离公式及其余弦定理即可得出．

解答 解：（I）$f（x）=\vec a•\vec b=\vec a=\sqrt{3}sinπx+cosπx=2sin（πx+\frac{π}{6}）$，
$2kπ-\frac{π}{2}≤πx+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$2k-\frac{2}{3}≤x≤2k+\frac{1}{3}$，
∵x∈[0，2]时，$0≤x≤\frac{1}{3}$或$\frac{4}{3}≤x≤2$，
∴f（x）的单调递增区间为$[0，\frac{1}{3}]$，$[\frac{4}{3}，2]$．
（I I）由题意得P$（\frac{1}{3}，2）$，Q$（\frac{4}{3}，-2）$．
根据距离公式$|OP|=\sqrt{{{（\frac{1}{3}）}^2}+{2^2}}=\frac{{\sqrt{37}}}{3}$，$|OQ|=\sqrt{{{（\frac{4}{3}）}^2}+{{（-2）}^2}}=\frac{{2\sqrt{13}}}{3}$，$|PQ|=\sqrt{{{（\frac{1}{3}-\frac{4}{3}）}^2}+{{（2+2）}^2}}=\sqrt{17}$，
根据余弦定理$cos∠POQ=\frac{{\frac{37}{9}+\frac{52}{9}-17}}{{2•\frac{{\sqrt{37}}}{3}•\frac{{2\sqrt{13}}}{3}}}=\frac{{-\frac{64}{9}}}{{\frac{{4\sqrt{481}}}{9}}}=-\frac{{16\sqrt{481}}}{481}$，

点评 本题考查了向量的数量积，三角恒等变换、正弦性函数的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．