Question

4．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面是边长为1的正方形，高AA₁=$\sqrt{2}$，点A是平面α内的一个定点，AA₁与α所成角为$\frac{π}{3}$，点C₁在平面α内的射影为P，当四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁按要求运动时（允许四棱柱上的点在平面α的同侧或异侧），点P所经过的区域的面积=$2\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 由题意，点A是平面α内的一个定点，AA₁与α所成角为$\frac{π}{3}$，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁按要求运动，为A定点的旋转运动和定直线AA₁旋转运动．再作点C₁在平面α内的射影为P的轨迹扫过的图形，即可得到点P所经过的区域的面积．

解答
解：当长方体绕A₁A转的时候，C₁C形成一个圆柱，过C₁往平面α作垂线垂足P，就形成一个椭圆，其短轴为P₁P₂=$\sqrt{6}$，长轴为$2\sqrt{2}$ 的y型的椭圆，其中心A点在平面α上的射影M．
当AA₁绕着A点转时，则椭圆就以A为圆心，$\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径的圆上运动，其扫过的区域为一个圆环，外径为$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}$，内径为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
所以面积为：[（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}$）²-$（\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}）^{2}$]•π=$2\sqrt{3}π$
故填：$2\sqrt{3}π$．

点评 本题考查了立体几何中以定点旋转和定直线旋转运动形成的图形的面积问题．注重空间思维的想象力的培养和作图能力，数形结合和转化的思想的灵活性的运用．属于难题．