Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，E为AC边上的中点且2bcosB=ccosA+acosC．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S≥

3 3

2

，求BE的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：综合题,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化边为角，可求导cosB，由此可得B；
（Ⅱ）由面积公式可得ac≥6，在△BAE中，由余弦定理得：BE2=c2+(

b

2

)2-2c(

b

2

)cosA，又cosA=

b2+c2-a2

2bc

，a²+c²-b²=ac代入上式，并整理得BE2=

a2+c2+ac

4

．然后利用基本不等式可求得结果；

解答： 解：（Ⅰ）2bcosB=ccosA+acosC，
由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sinB，
又sinB≠0，∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）∵S≥

3 3

2

，∴S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≥

3 3

2

，
∴ac≥6．
在△BAE中，由余弦定理得：BE2=c2+(

b

2

)2-2c(

b

2

)cosA，
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

，a²+c²-b²=ac代入上式，并整理得BE2=

a2+c2+ac

4

．
由基本不等式a²+c²≥2ac，得BE2≥

2ac+ac

4

=

3ac

4

≥

9

2

，
当且仅当a=c=

6

时上述不等式的等号都成立，且已知条件不等式等号成立，
∴BE的最小值为

3 2

2

．

点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角形面积公式、基本不等式，考查学生临河运用知识解决问题的能力．