Question

14．奇函数f（x）满足①在（-∞，0）内单调递增，②f（2）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-3，-1）∪（1，3）
• C． （-2，2）
• D． （-∞，-1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 分类讨论，当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，又f（2）=0，则f（x-1）＞0=f（2），当x＜1时，f（x-1）＜0，又函数f（x）为奇函数，求出此时不等式的解集，进而求出不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集．

解答 解：分类讨论，当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，
又f（2）=0，则f（x-1）＞0=f（2），∴x＞3．
当x＜1时，f（x-1）＜0，
又函数f（x）为奇函数，则f（-2）=0且f（x）在（-∞，0）内单调递增，
则当x＜1时，f（x-1）＜0=f（-2），∴x＜-1，
综上所述，x＜-1或x＞3．
故选：D．

点评 本题考查了奇函数的性质、函数单调性，还考查了分类讨论、数形结合的数学思想，本题有一定的思维难度，属于中档题．