Question

【题目】已知正项数列的前项和为，且，，数列满足，且

（I）求数列，的通项公式；

（II）令，求数列的前项和。

Answer 1

【答案】（I），；（II）

【解析】

（I）利用求得；根据求得，从而可知是等差数列，从而利用等差数列通项公式求得结果；利用可证得，可知数列的奇数项成等比、偶数项成等比，分别求解出为奇数和为偶数两种情况下的通项公式即可；（II）由（I）可得，采用分组求和的方式；对采用错位相减法求和；对分为为奇数和为偶数两种情况来讨论；从而可对两个部分加和得到结果.

（I）当时，，即

由可得

即：

又 是公差为，首项为的等差数列

由题意得：

由两式相除得：

是奇数时，是公比是，首项的等比数列

同理是偶数时是公比是，首项的等比数列

综上：

（II），即

令的前项和为，则

两式相减得：

令的前项和为

综上：