Question

【题目】在四棱柱中，，且，平面，.

（1）证明：.

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）根据三角形全等证明AC⊥BD，结合可得AC⊥平面，故而；（2）以，的交点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可

（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，

又∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC，

∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，

∴△AOD≌△COD，∴∠AOD＝∠COD＝90°，

∴AC⊥BD，

又因为平面，所以，又所以平面，

因为平面，所以.

（2）以，的交点为原点，过O作平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）及，知，，，，

所以，，.

设平面的法向量为，由，得，

所以，令，得.

设与平面所成的角为，则 .