Question

【题目】如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.

（I）求证：平面平面；

（Ⅱ）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由底面可得．取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，于是得到平面，根据面面垂直的判定可得所证结论．（Ⅱ）取中点，连接，可证得，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点的坐标，再根据线段最短得到点的位置，进而得到．求出平面的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求．

（Ⅰ）证明：∵底面，底面，

∴．

取的中点，连接，

∵是等边三角形，，

∴，，

∴点共线，从而得，

又，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）解：取中点，连接，则，

∴底面，

∴两两垂直．

以为原点如图建立空间直角坐标系，

则，

∴,

设平面的法向量为，

由，得，

令，得．

设，则，

∴，

∴当时，有最小值，且，此时．

设直线与平面所成角为，

则，

∴直线与平面所成角的正弦值为．