Question

13．证明：$\frac{sin（α+2β）}{sinβ}$-2cos（α+β）=$\frac{sinα}{sinβ}$．

Answer 1

分析 先转换命题，只需证sin（α+2β）-2cos（α+β）•sinβ=sinα，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）-β=α可证得结论．

解答 证明：∵sin（α+2β）-2cos（α+β）sinβ
=sin[（α+β）+β]-2cos（α+β）sinβ
=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ-2cos（α+β）sinβ
=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=sin[（α+β）-β]
=sinα．
两边同除以sinβ得 $\frac{sin（α+2β）}{sinβ}$-2cos（α+β）=$\frac{sinα}{sinβ}$．
∴原式得证．

点评 证明三角恒等式，可先从两边的角入手变化，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略．