Question

1．已知实数a，b满足a，b＞0，n为偶数，求证：$\frac{{b}^{n-1}}{{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n-1}}{{b}^{n}}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．

Answer 1

分析 由实数a，b满足a，b＞0，作差可得$\frac{{b}^{n-1}}{{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n-1}}{{b}^{n}}$-（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$），再由通分，因式分解，即可得到证明．

解答 证明：由实数a，b满足a，b＞0，
$\frac{{b}^{n-1}}{{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n-1}}{{b}^{n}}$-（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）
=$\frac{{b}^{n}}{{a}^{n}}$•$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{b}$+$\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}}$•$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$
=$\frac{{b}^{n}-{a}^{n}}{b{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n}-{b}^{n}}{a{b}^{n}}$
=（aⁿ-bⁿ）（$\frac{1}{a{b}^{n}}$-$\frac{1}{b{a}^{n}}$）
=（aⁿ-bⁿ）•$\frac{{a}^{n-1}-{b}^{n-1}}{{a}^{n}{b}^{n}}$≥0，
（当且仅当a=b取得等号），
即有$\frac{{b}^{n-1}}{{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n-1}}{{b}^{n}}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差法，考查因式分解的运用，属于中档题．