Question

14．解关于x的不等式ax²-[a（a-2）+3]x+3（a-2）＜0（a＞0）

Answer 1

分析 对a分类讨论，求出不等式对应方程的两个实数根的大小，写出不等式的解集．

解答 解：a＞0时，关于x的不等式ax²-[a（a-2）+3]x+3（a-2）＜0可化为
（ax-3）[x-（a-2）]＜0，
即（x-$\frac{3}{a}$）[x-（a-2）]＜0；
该不等式对应的方程有两个实数根为$\frac{3}{a}$和a-2，
令$\frac{3}{a}$=a-2，解得a=3或a=-1（不合题意，舍去）；
①当a=3时，$\frac{3}{a}$=a-2，原不等式化为（x-1）²＜0，其解集为∅；
②当a＞3时，$\frac{3}{a}$＜a-2，原不等式的解集为{x|$\frac{3}{a}$＜x＜a-2}；
③当0＜a＜3时，$\frac{3}{a}$＞a-2，原不等式的解集为{x|a-2＜x＜$\frac{3}{a}$}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论的思想方法的应用问题，是基础题目．