Question

2．方程x²-2（a+2）x+a²+1=0的两个实根为x₁，x₂，且$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的取值范围是[4，6），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用韦达定理对$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$进行化简，再计算，即可求实数a的取值范围．

解答 解：∵方程x²-2（a+2）x+a²+1=0有两实根
∴4（a+2）²-4×（a²+1）≥0
解得a≥-$\frac{3}{4}$，
∵x₁，x₂是方程x²-2（a+2）x+a²+1=0两实根，
∴x₁+x₂=2（a+2），x₁•x₂=a²+1，
∴x₁²+x₂²=2a²+16a+14
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2{a}^{2}+16a+14}{{a}^{2}+1}$=2+$\frac{16a+12}{{a}^{2}+1}$
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的取值范围是[4，6），
∴2≤$\frac{16a+12}{{a}^{2}+1}$＜4
解得4-$\sqrt{21}$≤a≤2+$\sqrt{2}$．
∵a≥-$\frac{3}{4}$，
∴4-$\sqrt{21}$≤a≤2+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．