Question

19．已知函数f（x）=x|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）函数f（x）在[0，+∞）上能否单调递增？若能，求出实数a的取值范围；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义判断函数f（x）=x|x-a|的奇偶性；
（2）分类讨论，利用二次函数的图象，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．
当a=0时f（x）=x|x-a|=x|x|，为奇函数．
当a≠0时，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）由题意可得，x≥a，f（x）=x²-ax，a≤0，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
x＜a，f（x）=ax-x²，函数f（x）在[0，+∞）上不可能单调递增，
综上，a≤0．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的单调性，考查学生的运算能力．