Question

【题目】已知函数，.

（1）若，求证：当时，；

（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）时，求导并判断函数的单调性，可得在上单调递增，即当时，；

（2）构造函数，求导并判断单调性可得在上单调递增，可求出与，然后分、和三种情况讨论，使得在上单调递减所满足的条件，可求出实数的取值范围.

（1）依题意，定义域为，

.

令，则.

所以当时，，当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，即，所以函数在上单调递增.

所以当时，.

（2）设，则.

易知当时，，即，故在上单调递增.

所以，.

①若，则在上，，所以.

所以.

令.

在上，要使单调递减，则，从而.

因为，所以在上单调递减.

所以，所以.

②若，即，则在上，，

所以，由①可知.

所以当时，，

从而，所以在上单调递减.

③若，则存在，使得，从而.

而，，从而在区间上不单调递减.

综上所述，实数的取值范围为.