Question

【题目】已知椭圆的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线l与椭圆C交于两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D.若，求动点D的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由题意知，，即可求得椭圆方程；(2)先考虑直线斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合向量的垂直关系即可求得m，k的关系式，从而求得，再验证斜率不存在时也满足，则可求得点D的轨迹方程.

（1）由题意知，，解得，所以椭圆C的方程为

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

由消去y整理得，根据题设有：

且，.

∵，∴，即，

将，代入，化得，

把，代入整理得：，

∵，∴；

当直线l的斜率不存在时，设，由得，.

∵，∴，解得，∴

所以动点D的轨迹是以原点O为圆心，半径为的圆，方程为.