Question

19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），当x∈（-2，0）时f（x）=2^x，则f（2014）+f（2015）+f（2016）=0．

Answer 1

分析 由题意化f（2014）+f（2015）+f（2016）=f（671×3+1）+f（671×3+2）+f（672×3+0）=f（1）+f（2）+f（0）=f（1）+f（-1）=0．

解答 解：∵f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（x+3）=f（x），
∴f（x）的周期T=3；
∴f（2014）+f（2015）+f（2016）
=f（671×3+1）+f（671×3+2）+f（672×3+0）
=f（1）+f（2）+f（0）
=f（1）+f（-1），
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（1）+f（-1）=0，
故答案为：0．

点评 本题考查了抽象函数的应用，考查函数的周期性，属于中档题．