Question

11．已知命题p：函数f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R；命题q：函数g（x）=2^|x-a|在区间（3，+∞）上单调递增．
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）的定义域为R，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，即可求出a的取值范围；
（2）首先求出命题q为真命题时a的取值范围，再由条件p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知命题p与q必然一真一假，分类讨论即可．

解答 解：（1）若p为真命题，则ax²-4x+a＞0对?x∈R恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2；
（2）g（x）=2^|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-a}，x≥a}\\{{2}^{-x+a}，x＜a}\end{array}\right.$，若q为真命题，则a≤3，
又“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q一真一假，
当p真q假时，则 $\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞3}\end{array}\right.$，故a＞3；
当p假q真时，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≤3}\end{array}\right.$，故a≤2；
综上可得，a≤2，或a＞3．

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用以及指数函数与对数函数的性质，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．