Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f_1}（x），x∈[{0，\frac{1}{2}}）\\{f_2}（x），x∈[{\frac{1}{2}，1}]\end{array}$，其中f₁（x）=-2（x-$\frac{1}{2}$）²+1，f₂（x）=-2x+2．
（1）在如图直角坐标系中画出y=f（x）的图象；
（2）写出y=f（x）的单调增区间；
（3）若x₀∈[0，$\frac{1}{2}}$），x₁=f（x₀），f（x₁）=x₀．求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）根据解析式可得函数的图象；
（2）根据图象写出y=f（x）的单调增区间；
（3）根据分段函数，建立方程关系，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）如图所示：
（2）单调增区间$[{0，\frac{1}{2}}]$，
（3）若${x_0}∈[{0，\frac{1}{2}}）$，
则${x_1}=f（{x_0}）=-2{（{x_0}-\frac{1}{2}）^2}+1$．
此时$\frac{1}{2}≤{x_1}＜1$，
∴$f（{x_1}）=-2{x_1}+2=-2[{-2{{（{x_0}-\frac{1}{2}）}^2}+1}]+2=4{（{x_0}-\frac{1}{2}）^2}={x_0}$
整理得4x₀²-5x₀+1=0，
解得x₀=1（舍）或${x_0}=\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了分段函数的函数解析式的应用，解题的关键是需要根据不同的x确定对应的解析式．