Question

已知椭圆x²+2y²=4，AB为椭圆的弦且以M（1，1）为中点，求以AB为直径的圆的方程．

Answer 1

分析：先设出直线AB的方程，根据AB为椭圆的弦且以M（1，1）为中点求出k，从而可求出线段AB的长得到半径，而圆心为点M，从而求出圆的方程．

解答：解：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-1=k（x-1），即 kx-y+1-k=0，
代入椭圆的方程化简得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+2k²-4k-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2-4k

1+2k2

=2，解得 k=-

1

2

，
∴x₁x₂=

1

3

AB=

1+ 1 4

•

(x1+x2)  2-4x1x2

=

30

3

∴以AB为直径的圆的圆心为（1，1）半径为

30

6

，圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=

点评：本题考查圆的方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，函数与方程的思想，是中档题．