Question

若函数f（x）=

ax-2

3-x

满足对任意x₁，x₂∈（-∞，3），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  3

  ，+∞）
• B、（

  2

  3

  ，+∞）
• C、（-∞，

  1

  3

  ）
• D、（-∞，

  2

  3

  ）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件判断出函数是减函数，再对a进行分类讨论，利用分离常数法化简解析式，再由函数的单调性求出a的范围．

解答： 解：因为对任意x₁，x₂∈（-∞，3），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
所以函数f（x）=

ax-2

3-x

在（-∞，3）上是减函数，
当a=0时，f(x)=

-2

3-x

=

2

x-3

在（-∞，3）上是减函数，
当a≠0时，f(x)=

a(x-3)-2+3a

3-x

=-a+

3a-2

3-x

=-a+

2-3a

x-3

，
所以

a≠0 2-3a＞0

，解得a＜

2

3

且a≠0，
综上得，实数a的取值范围是（-∞，

2

3

），
故选：D．

点评：本题考查函数的单调性的应用，分离常数法化简函数的解析式，以及分类讨论思想，解题时要认真审题，仔细解答．