Question

19．已知点F为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，F关于直线y=$\frac{1}{3}$x的对称点在C上，则C的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

Answer 1

分析 双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），设F（c，0）关于直线y=$\frac{1}{3}$x的对称点P（x₀，y₀），从而根据两点与直线的位置关系可得，求出点P的坐标，再代入到双曲线方程中，即可求出$\frac{b}{a}$的值，即可得到双曲线的渐近线方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），设F（c，0）关于直线y=$\frac{1}{3}$x的对称点P（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=\frac{1}{3}•\frac{{x}_{0}+c}{2}}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}=-3}\end{array}\right.$，
解得x₀=$\frac{4}{5}$c，y₀=$\frac{3}{5}$c，
即P（$\frac{4}{5}$c，$\frac{3}{5}$c），
代入双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1得$\frac{16{c}^{2}}{25{a}^{2}}$-$\frac{9{c}^{2}}{25{b}^{2}}$=1，
即16×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$-9×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}}$=25，
即16（1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）-9（$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+1）=25，
设$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=m，
则16（1+m）-9（$\frac{1}{m}$+1）=25，
整理可得16m²-18m-9=0，
即（2m-3）（8m+3）=0，
解得m=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故则C的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

点评 本题考查了双曲线的简单性质和对称点的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题