Question

如图，在直三棱柱(即侧棱与底面垂直的三棱柱)中，

（I）若为的中点，求证：平面平面；
（II）若为线段上一点，且二面角的大小为，试确定的位置．

Answer 1

（I）略；（II）．

试题分析：（I）可以转为证线面垂直或利用空间向量证明面面垂直；（II）可利用的面积求也可利用空间向量求．
试题解析：方法一：（I）证明：∵，∴.        
又由直三棱柱的性质知， 
∴平面，∴，            ①
由为的中点，可知，
∴，即，            ②
又                                ③
由①②③可知平面， 
又平面，故平面平面.  
（II）解：由（I）可知平面，在平面内过作，交或其延长线于，连接，∴为二面角的平面角，   
∴.由知，，设，则.
∵的面积为，∴.  
解得，即.

方法二：（I）证明：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则即
           
由，得；         
同理可证，得.         
又平面.             
又平面，∴平面平面.       
（II）解：设，则点坐标为
设平面的一个法向量为．
则令.
得，   
又平面的一个法向量为， 
则由，得，  
即，故.          ……