Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow{b}$=（-1，2）．
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值；
（2）若（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$即可得出．
（2）（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），可得（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，解得λ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-4+6=2，$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2}{5\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
（2）$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$=（4+λ，3-2λ），2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（7，8），
又（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），∴（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=7（4+λ）+8（3-2λ）=0，
解得λ=$\frac{52}{9}$．

点评 本题考查了向量数量积运算法则、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．