Question

7．已知函数$f（x）=asin（2x-\frac{π}{3}）$，且$f（\frac{π}{2}）=\sqrt{3}$
（1）求函数f（x）的最大值以及取得最大值时相应的自变量x的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据f（$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$列方程解出a即可得出f（x）的最大值，令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ得出x的值；
（2）利用周期公式计算周期T，令2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}+2kπ$，$\frac{3π}{2}$+2kπ]解出f（x）的减区间．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=asin（2x-\frac{π}{3}）$，且$f（\frac{π}{2}）=\sqrt{3}$，
∴$f（\frac{π}{2}）=asin\frac{2π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\sqrt{3}$，∴a=2，
∴函数 $f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∴函数$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$有最大值2，
此时，$2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，即 $x=kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$，
（2）函数$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
令$2x-\frac{π}{3}∈[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]（k∈Z）$得，$x∈[kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{11π}{12}]（k∈Z）$，
即y=f（x）的单调减区间为$[kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{11π}{12}]（k∈Z）$．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．