Question

2．已知函数f（x）=alnx+x-1（a∈R）．若f（x）≥0对于任意x∈[1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． [-1，+∞）
• C． （-∞，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可．

解答 解：由题意知alnx+x-1≥0在x∈[1，+∞）恒成立，
∵f′（x）=$\frac{a}{x}$+1=$\frac{x+a}{x}$，x∈[1，+∞），
当a≥-1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（1）=0，符合题意； 
当a＜-1时，若1＜x＜-a，则f′（x）＜0，
f（x）在（1，-a）上单调递减；
∴存在x₀∈（1，-a），使得f（x）＜f（1）=0，
不符合题意．
综上a≥-1，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．