Question

9．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到的函数图象的解析式是奇函数，则函数f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根据三角函数平移变化的规律，求解解析式，且奇函数，从而求出φ的值．当x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值．

解答 解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的图象，
因为函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）为奇函数，故$\frac{π}{3}$+φ=kπ，
由|φ|＜$\frac{π}{2}$故φ的最小值是-$\frac{π}{3}$．
所以函数为y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，则2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
x=0时，函数取得最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性，三角函数的值域的应用，属于中档题．