Question

17．已知函数y=sin²x+sin2x+3cos²x，求
（1）函数的最小值及此时的x的集合；
（2）函数的单调减区间；
（3）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值；
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（3）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）函数y=sin²x+sin2x+3cos²x，
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+sin2x+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$cos2x=sin2x+cos2x+2=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2．
∵sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最小值为-1．
∴f（x）的最小值为2$-\sqrt{2}$，此时2x+$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，解得x=$kπ-\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴此时的x的集合为{x|x=$kπ-\frac{3π}{8}$，k∈Z}．
（2）f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2．
由$\frac{π}{2}+$2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
解得：$kπ+\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{5π}{8}+kπ$．
∴函数的单调减区间为{x|$kπ+\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{5π}{8}+kπ$，k∈Z}
（3）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．
∴y=f（x）的值域为[1，2$+\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题