Question

[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=|x|-[x]
①f（x）是周期为1的函数；
②f（x）的定义域为R；
③f（x）的值域为[0，1）
④f（x）是偶函数；
⑤f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N）．
上面的结论正确的个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中[x]表示不超过x的最大整数，我们可以分别求出函数y=|x|-[x]的值域，奇偶性，周期性，单调性，比较已知中的⑤个结论，即可得到答案．

解答： 解：∵f（x）=|x|-[x]，函数的定义域为R
∴f（x+1）=|x+1|-[x+1]=|x+1|-[x]-1=|x|-[x]=f（x），
∴f（x）=|x|-[x]在R上为周期是1的函数．
∵当0≤x＜1时，f（x）=|x|-[x]=|x|-0=|x|，
∴函数{x}的值域为[0，1），
函数y=|x|-[x]为非奇非偶函数，
∵函数y=|x|-[x]在区间（0，1）上为增函数，
∴f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N）
故①②③⑤正确，
故选：C

点评：本题的考查的知识点是函数的值域，单调性，奇偶性和周期性，其中正确理解新定义是解题的关键．