Question

数列{a_n}满足a₁=1，

1 an2 +1

=

1

an+1

，记S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，若S_2n+1-S_n≤

t

30

对任意n∈N^*恒成立，则正整数t的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式得到{

1

an2

}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出an2=

1

n

，利用作差法证得数列
{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，求出其最大项后代入S_2n+1-S_n≤

t

30

，则正整数t的最小值可求．

解答： 解：由

1 an2 +1

=

1

an+1

，得

1

an+12

-

1

an2

=1，
∴{

1

an2

}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
∴

1

an2

=1+(n-1)=n．
∴an2=

1

n

．
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

n+1

-

1

2n+2

-

1

2n+3

=

1

2n+2

-

1

2n+3

＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

2

+

1

3

=

5

6

．
∵S_2n+1-S_n≤

t

30

对任意n∈N^*恒成立，
∴

5

6

≤

t

30

，即t≥25．
故答案为：25．

点评：本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的通项公式和单调性的灵活运用．