题目内容

已知
a
⊥
b
，且|
a
|=2，|
b
|=1，若对两个不同时为零的实数k、t，使得
a
+（t-3）
b
与-k
a
+t
b
垂直，试求k的最小值．
分析：利用向量的数量积与向量垂直的关系即可得出．
解答：解：∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=0．
又由已知得
a
+（t-3）
b
与-k
a
+t
b
垂直，
∴-k
a
2+t(t-3)
b
2+(t+3k-kt)
a
•
b
=0，
∵|
a
|=2，|
b
|=1，
∴-4k+t（t-3）=0，
∴k=
1
4
（t2-3t）=
1
4
(t-
3
2
)2-
9
16
（t≠0），
故当t=
3
2
时，k取最小值-
9
16
．
点评：熟练掌握向量的数量积与向量垂直的关系是解题的关键．
练习册系列答案
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4、已知两条不重合的直线m，n两个不重合的平面a，b 给出下列命题
①若m⊥a，n⊥b 且m⊥n则a⊥b   ②若m∥a，n∥b 且m∥n则a∥b
③若m⊥a，n∥b 且m⊥n则a⊥b   ④若m⊥a，n∥b 且m∥n则a∥b
其中正确命题的个数为（　　）
已知
a
=（sinθ，cosθ）、
b
=（
3
，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若f（θ）=|
a
+
b
|，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a、b、c，且a=f（0），b=f（-
π
6
），c=f（
π
3
），求
AB
•
AC
．
已知|
a
|=|
b
|，且
a
与
b
的夹角为60°，则
a
与
a
+
b
的夹角为
30°
30°
．
已知a，b是实数，函数f(x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f′(x)和g′(x)是f(x)，g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致，
（1）设a＞0，若函数f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0且a≠b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。

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