Question

已知a，b是实数，函数f(x)=x³+ax，g(x)=x²+bx，f′(x)和g′(x)是f(x)，g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致，
（1）设a＞0，若函数f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0且a≠b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。

Answer 1

解：（1）因为函数f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，
所以，
即，
∵a＞0，
∴，
即∵a＞0，
∴，
∴b≥2；
（2）当b＜a时，因为函数f(x)和g(x)在区间（b，a）上单调性一致，
所以，，
即，
，
∴，
∴，
∴，
设z=a-b，考虑点(b，a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为，
则，
∴；
当a＜b＜0时，因为函数f(x)和g(x)在区间（a，b）上单调性一致，
所以，
即，
∵b＜0，∴，
∴，∴，
∴，∴；
当a＜0＜b时，因为函数f(x)和g(x)在区间（a，b）上单调性一致，
所以，
即，
∵b＞0，而x=0时，不符合题意；
当a＜0=b时，由题意：，
∴，∴，
∴，∴；
综上可知，。