Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，且有3a2＝4b2+1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，过点M作直线x＝3的垂线，垂足为点P，证明直线NP经过定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）见解析，定点（2，0）．

【解析】

（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，结合条件，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；

（2）求得F的坐标，讨论直线l不与x轴重合，设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和直线恒过定点的求法，可得所求定点；讨论当直线l与x轴重合也成立．

（1）由e，所以11，

联立方程组，解得a2=3，b2=2，

所以椭圆的方程为1；

（2）证明：由（1）可得F(1，0)，

当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x=my+1，

联立椭圆方程2x2+3y2=6，消去x可得(3+2m2)y2+4my4=0，，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得y1+y2，y1y2，

且点P(3，y1)，则NP的方程为(x2﹣3)y=(y2﹣y1)(x﹣3)+y1(x2﹣3)，

又x2=my2+1，所以(my22)y=(y2y1)(x3)+my1y22y1（*）

由y1+y2，y1y2可得my1y2=y1+y2，

则（*）式可变形为(my22)y＝(y2y1)(x3)y1+y2．

所以(my2﹣2)y＝(y2﹣y1)(x﹣2)，即直线NP经过定点(2，0)．

当直线l与x轴重合时，显然直线NP也经过定点(2，0)，

综上，直线NP经过定点(2，0)．