Question

【题目】已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且、、成等比数列．

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求（为坐标原点）面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由题意可得出关于、的方程组，可求出、的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）解法一：设点、、，将点、的坐标代入椭圆的方程，变形后相减可得，再由、，经过向量的坐标运算求得，由点在椭圆内得到，再由三角形的面积公式可求得面积的取值范围；

解法二：设点、、，由、，根据向量的坐标运算得出，设直线的方程为，与椭圆的方程联立，由得出的取值范围，由代入韦达定理并消去，得出，进而得出，再由三角形的面积公式可求得面积的取值范围；

解法三：设直线的方程为，与椭圆的方程联立，由得出的取值范围，并列出韦达定理，利用向量的线性运算可得出，并求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.

（1）依题意，解得，，

所以椭圆的方程是；

（2）解法一：

设、、，则，

相减得：，

又由，知，，

由，知，，

代入式得：，即，

又因为点在椭圆内，所以，

所以的面积；

解法二：设，，，则，，

设直线的方程为，代入椭圆的方程得：

，由得，．

所以，消去得到，

所以，

因此的面积；

解法三：设直线的方程为，代入椭圆的方程得：

，由得，．

所以，，

，

原点到直线的距离，

所以的面积，

因为，所以．