Question

【题目】已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】

(1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程;

(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设,直线,则直线分别和抛物线方程联立, 解得利用,结合直线方程,即可证得直线的斜率为定值.

(1)设,则,两式相减,得: 由弦中点的纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程.

(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理 .

直线的斜率为定值.