题目内容
【题目】对于各项均为整数的数列
，如果满足
（
）为完全平方数，则称数列
具有“
性质”；不论数列
是否具有“
性质”，如果存在与
不是同一数列的
，且
同时满足下面两个条件：①
是
的一个排列；②数列
具有“
性质”，则称数列
具有“变换
性质”.
（Ⅰ）设数列
的前
项和
，证明数列
具有“
性质”；
（Ⅱ）试判断数列
和数列
是否具有“变换
性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列
，不具此性质的说明理由；
（Ⅲ）对于有限项数列
，某人已经验证当
（
）时，数列
具有“变换
性质”，试证明：当
时，数列
也具有“变换
性质”.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知
，所以
是完全平方数，数列
具有“
性质”；（Ⅱ）由题设条件知：数列
具有“变换
性质”，数列
为
，数列
不具有“变换
性质”，所以数列
不具有“变换
性质”；（Ⅲ）设
，令
，则
，由此可知当
时，数列
也具有“变换
性质”.
试题解析：（Ⅰ）当
时， 
，
又
，所以
.
所以
（
）是完全平方数，数列
具有“M性质”.
（Ⅱ）数列
具有“变换M性质”，
数列
为
.
数列
不具有“变换M性质”.
∵
， 
都只有与
的和才能构成完全平方数，
∴数列
不具有“变换M性质”.
（Ⅲ）设
， 
，
注意到
，
令
，
∵
， 
∴
，
又∵
， 
，
∴
，即
.
∵当
（
）时，数列
具有“变换M性质”，
∴
可以排列成
，使得
都是平方数；
另外， 
， 
，…， 
可以按相反顺序排列，即排列为
，…， 
， 
，
使得
，
，…，
∴
可以排成
满足
都是平方数.
【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取
名同学（男
人，女
人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表（单位：人）：
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
（1）能否据此判断有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）现从选择做几何题的
名女生中，任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为
，求
的分布列和
.
附表及公式： 
